태양이 꺼진 다음 날 — 식어 가는 지구

탐구 주제

IYPT 1997 문제 10 ‘Cooling the Earth’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1997 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「기권과 날씨」(복사 평형·태양 복사와 지구 복사)·「열과 우리 생활」(비열·열의 이동) / 고등학교 통합과학2 「환경과 에너지」 / 지구과학 「대기와 해양의 변화」(지구의 열수지) / 과학탐구실험1(페르미 추정과 자릿수 계산) / 진로선택 「역학과 에너지」(열과 에너지) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

흑체복사, 슈테판-볼츠만 법칙, 복사 평형, 유효 온도, 온실 효과, 열용량, 비열, 잠열, 방사율, 뉴턴 냉각 법칙, 냉각 시간 상수, 전도·대류·복사, 지열 유량, 부피 대 표면적 비

원리 살펴보기

태양이 지금 꺼진다면, 지구는 내일 아침 얼음덩이가 될까? 지구는 우주라는 완전한 진공에 떠 있어 열을 잃는 통로가 사실상 복사 하나뿐이다. 모든 물체는 절대온도의 네제곱에 비례해 복사를 내놓는데(슈테판-볼츠만 법칙), 평균 288 K(15 °C)인 지표는 매초 1 m²마다 약 390 J을 적외선으로 내보낸다. 이 지출의 대부분은 대기가 받아 지표로 되돌려 주고(온실 효과), 지구 전체로는 흡수한 태양 복사 약 240 W/m²만큼을 우주로 내보내며 수지를 맞추고 있을 뿐, 지구는 언제나 식고 있는 중이다(복사 평형). 태양이 꺼진다는 것은 수입만 끊긴 가계부와 같다 — 지출은 그대로인 채 저금을 헐어 쓰는 상황이다.

그럼 얼마나 빨리 식을까? 답은 어느 저금통을 헐고 있느냐에 따라 층층이 갈린다. 먼저 열용량이 작은 대기(1 m² 위 공기 기둥 약 10 t)가 식는 첫 단계 — 우주로 나가는 순복사(약 240 W/m²)를 이 열용량으로 나누면 하루 몇 K씩, 몇 주에 수십 K가 떨어진다는 어림이 나온다. 이어서 비열이 크고 양이 압도적인 바다가 열과 얼음의 잠열을 내놓으며 제동을 걸고, 표면이 얼어붙으면 얼음이 단열 이불이 되어 냉각을 다시 크게 늦춘다. 맨 밑바닥은 지구 내부가 만든다 — 지각을 뚫고 올라오는 지열은 전 지구 평균 약 0.09 W/m²(총 47 TW)로, 슈테판-볼츠만 법칙을 뒤집으면 약 35 K의 표면 온도를 오래도록 떠받친다. 그래서 계산들은 표면 생태계가 빠르게 얼어붙은 뒤에도, 얼음 밑 바다와 열수구의 생명은 지열 덕에 수백만 년 이상 버틴다고 말한다.

이 꺼진 태양 사고실험의 물리는 실제로 곳곳에서 일한다. 기후과학(화산 겨울·핵겨울처럼 태양 복사가 가려질 때의 냉각 속도 계산이 바로 이 문제다), 행성과학(별 없이 은하를 떠도는 행성이 지열과 두꺼운 대기로 액체 물을 지킬 수 있는지가 현역 연구 주제다), 인공위성 열설계(지구 그림자에 들어가 태양이 꺼지는 식(蝕)마다 위성이 얼지 않도록 열용량과 방사율을 설계한다), 복사 냉각 소재(맑은 밤하늘로 열을 버려 전기 없이 온도를 낮추는 지붕·필름)가 모두 같은 계산 위에 서 있다.

실험 설계

준비물

같은 모양의 금속 캔 여러 개(크기 두 종 이상), 무광 검정 스프레이 또는 검정 절연 테이프, 뜨거운 물(80 °C 안팎), 디지털 탐침 온도계 2개, 실온 온도계, 초시계, 단열 받침(코르크·스티로폼), (선택) 적외선 온도계, 소형 선풍기.

변인

독립변인은 캔 표면의 방사율(광택 금속 대 무광 검정)과 캔의 크기(부피 대 표면적 비)이며 한 번에 하나만 바꾼다. 종속변인은 시간에 따른 물의 온도, 곧 냉각 곡선이다. 통제변인은 물의 초기 온도와 채운 양(캔 부피 대비 비율), 실온, 받침의 단열, 실내 기류다.

실험 순서

1. 같은 캔 두 개 중 하나만 무광 검정으로 칠해 단열 받침 위에 나란히 놓고, 80 °C 안팎의 뜨거운 물을 같은 양 채운 뒤 탐침 온도계를 꽂는다.

2. 실온을 기록하고 두 캔의 온도를 1분 간격으로, 물과 실온의 차이가 처음의 4분의 1로 줄 때까지 기록한다 — 조건마다 3회 반복한다.

3. 크기가 다른 캔에 부피 대비 같은 비율로 물을 채워 같은 측정을 반복해, 크기가 냉각 빠르기에 미치는 효과를 잰다.

4. 초과 온도(물 온도−실온)를 세로 로그 축에 그려 직선이 되는 범위(뉴턴 냉각)를 확인하고, 기울기에서 냉각 시간 상수를 조건별로 구한다.

5. 시간 상수가 크기(부피÷표면적)에 비례하는지 확인한 뒤, 같은 논리에 대기·바다의 열용량과 복사 지출을 넣어 지구의 냉각 시간 규모를 자릿수로 어림한다 — 캔의 냉각 상수 자체를 옮기는 것이 아니라 ‘저장한 열 ÷ 내보내는 유량’이라는 논리만 행성에 옮기는 어림이다(캔은 증발·대류가, 지구는 복사가 열을 나른다).

안전 안내

뜨거운 물은 화상 위험이 있다 — 내열 장갑을 끼고 옮기고, 캔은 넘어지지 않게 안정한 받침 가운데에 둔다. 온도계는 급열에 깨지지 않도록 물을 부은 뒤에 꽂는다. 스프레이 도색은 환기되는 곳에서 미리 해 말려 두고, 물 주변에 전기 기구를 두지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

캔의 지름을 두 배로 키우면 식는 데 걸리는 시간은 몇 배가 될까 — 그 부피÷표면적 논리를 지구에 옮기면 어떤 자릿수가 나올까?

자료 정리

조건별 시간–온도 표를 모아 냉각 곡선을 겹쳐 그리고, 초과 온도를 로그 축으로 바꿔 직선 구간의 기울기에서 시간 상수를 읽는다. 시간 상수를 부피÷표면적에 대해 그려 비례 여부를 보고, 검정 캔과 광택 캔의 시간 상수 비로 복사의 몫을 정리한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

무광 검정 캔이 광택 캔보다 뚜렷이 빨리 식고(복사의 몫), 시간 상수는 캔의 크기에 거의 비례해 길어질 것으로 예상된다. 냉각 시간은 결국 저장한 열(부피)을 내보내는 창구(표면)로 나눈 비율이 정한다는 뜻이다. 이 규칙을 지구에 넣는 순간 답이 층위로 갈라진다 — 대기는 몇 주, 바다 표층은 몇 년, 바다 전체는 수백 년 이상의 규모, 그리고 지열이 만드는 약 35 K의 바닥. 책상 위 캔 하나의 냉각 곡선에 행성 냉각의 문법이 그대로 담겨 있는 셈이다.

더 탐구하기

1. 캔 입구를 랩으로 덮었을 때와 열어 두었을 때의 냉각 곡선을 비교해 보자 — 증발 냉각의 몫이 복사·대류 못지않게 크다.

2. 적외선 온도계로 검정 캔과 광택 캔의 겉보기 온도를 재 보자 — 방사율이 낮은 광택면이 실제보다 차게 읽히는 오차 자체가 복사 법칙의 증거다.

3. 소형 선풍기로 약한 바람을 일부러 쐬어 강제 대류가 시간 상수를 얼마나 줄이는지 재 보자 — 지구 문제에서 대기 순환이 맡는 열 수송의 축소판이다.

4. 어림을 확장해 보자 — 대기 기둥(약 10 t/m²)과 평균 깊이 약 3.7 km인 바다의 열용량을 각각 넣으면 냉각 시간이 몇 자릿수 벌어지는지 계산해 보자.

연결 주제

물리 2020 문제 1 ‘열선 전류계’ — 만들어지는 열과 내보내는 열이 균형을 이루는 곳에서 온도가 정해지는 같은 에너지 수지 물리를 도선 하나의 규모로 다룬다. 1997년 문제 4 ‘전자빔’ — 실물 실험이 불가능한 대상을 모형과 수치 계산으로 공략해 문헌과 맞대는, 이 문제와 같은 방법론의 짝이다.

참고문헌

[학생] NASA 지구관측소 ‘Climate and Earth’s Energy Budget’ 해설 / 위키백과 ‘슈테판-볼츠만 법칙’·‘지열’ / 영상 검색어 “if the Sun disappeared”, “지구 복사 평형” / [심화] J. H. Davies, D. R. Davies, “Earth’s surface heat flux,” Solid Earth 1(1), 5–24, 2010, DOI 10.5194/se-1-5-2010 (38,347건의 측정 자료로 지구 전체 지열 방출을 47±2 TW, 평균 약 0.09 W/m²로 집계) · G. Laughlin, F. C. Adams, “The Frozen Earth: Binary scattering events and the fate of the Solar System,” Icarus 145(2), 614–627, 2000, DOI 10.1006/icar.2000.6355 (지구가 태양계 밖으로 튕겨나 별빛을 잃는 시나리오의 확률과 열적 운명을 계산 — 표면은 얼어붙지만 심해 생물권은 지열로 수백만 년 이상 지속) · D. J. Stevenson, “Life-sustaining planets in interstellar space?,” Nature 400, 32, 1999, DOI 10.1038/21811 (수소 대기가 지열을 가두면 유효 온도 30 K의 떠돌이 행성도 표면에 액체 물을 가질 수 있다는 제안) · D. S. Abbot, E. R. Switzer, “The Steppenwolf: A proposal for a habitable planet in interstellar space,” The Astrophysical Journal Letters 735(2), L27, 2011, DOI 10.1088/2041-8205/735/2/L27 (지구형 조성은 질량이 지구의 약 3.5배는 되어야 지열만으로 얼음 밑 바다가 유지된다고 계산) · M. Vollmer, “Newton’s law of cooling revisited,” European Journal of Physics 30(5), 1063–1084, 2009, DOI 10.1088/0143-0807/30/5/014 (대류·복사가 섞인 냉각에서 뉴턴 냉각이 성립하는 온도차 범위를 열화상 실험으로 정리 — 이 축소 모형 실험의 근거). ※ 태양이 꺼진 지구의 관측 자료는 원리적으로 존재할 수 없다 — 캔의 부피÷표면적 논리에서 행성의 냉각 시간까지 잇는 스케일링 사슬을 정량화하는 것이 이 탐구의 개방 지점이다.