2026년 9월 30일 · 용티IYPT 1994 · 문제 8 · 역학·진동, 물성·재료

횟수는 무한, 시간은 유한 — 슈퍼볼의 충돌 횟수

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 1994 문제 8 ‘Superball’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1994 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」(자유 낙하, 역학적 에너지 전환)·「빛과 파동」(소리) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(충격량과 운동량) · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」 / 물리학 「힘과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

반발 계수, 비탄성 충돌, 자유 낙하, 비행 시간, 등비수열, 등비급수의 수렴, 충돌 특이점(collisional singularity), 비탄성 붕괴, 헤르츠 접촉 이론, 접촉 시간, 표본율, 잔향, 검출 문턱값

원리 살펴보기

탁자에 슈퍼볼을 떨어뜨리면 딱, 딱 하던 소리가 촘촘해지다 “드르륵” 끝난다. 몇 번이나 부딪힌 걸까? 연필로 세어 보면 답이 이상해진다. 높이 h₀에서 떨어진 공이 반발 계수 e로 되튀면 n번째 되튐 높이는 e²ⁿh₀, 충돌 사이 비행 시간은 eⁿ·2√(2h₀/g)로 같은 비율로 줄어든다. 높이는 0에 다가가되 0이 되지는 않으니 횟수는 무한이다. 그런데 비행 시간의 총합은 등비급수라 √(2h₀/g)·(1+e)/(1−e)로 수렴한다 — 5 cm에 e = 0.9면 1.9초. 무한 번의 충돌이 2초 안에 끝난다는 이 모순을 충돌 특이점이라 부른다

실제로는 물론 유한하다. 팔콘 연구진은 초경합금 구슬을 힘 센서에 떨어뜨려 그 끝을 밝혔다 — 충돌은 순간이 아니라 시간이 걸리고, 비행 시간이 그 접촉 시간 수준까지 줄면 공은 더는 떠오르지 못한 채 눌린 면 위에서 진동만 하다 멎는다. 슈퍼볼의 접촉 시간은 크로스의 실측으로 3.12 m/s에서 3.00 ms이고 속도의 −0.22제곱을 따르니, 5 cm 낙하(0.99 m/s)에서는 약 3.9 ms이고 되튐이 약해질수록 더 길어진다. 줄어드는 비행 시간이 길어지는 접촉 시간과 만나는 곳은 e = 0.85면 20번째, e = 0.95면 60번째 충돌 언저리다. 공이 도중에 탄성을 잃어서가 아님에 주의하자 — 같은 연구는 e가 거의 모든 되튐에서 일정하다가 맨 끝에서만 떨어지고, 그 하락조차 새 손실 기제가 아니라 접촉 중 중력이 탄성력과 겨룰 만큼 커진 탓임을 보였다.

무한한 충돌이 유한한 시간에 몰리는 구조는 곳곳에서 실제 문제다. 행성 고리·과립 물질(알갱이들이 비탄성 충돌 끝에 달라붙는 ‘비탄성 붕괴’가 토성 고리 동역학의 소재다), 물리 엔진·로봇 시뮬레이션(되튐 간격이 0으로 수렴하면 계산이 나아가지 못해 접촉 시간을 넣어 접촉 상태로 넘긴다), 스포츠 장비 규격(테니스공은 규정 높이에서 떨어뜨린 반발 계수로 합격이 갈린다), 부품 이송·선별 자동화(부품이 몇 번 튀고 언제 멎는지가 라인의 처리 속도를 정한다)에 닿는다.

실험 설계

준비물

슈퍼볼(지름 3~5 cm) 2~3개, 두꺼운 석재 도마 또는 두께 1 cm 이상의 금속판, 수평계, 자와 스탠드, 44.1 kHz·16비트 이상 녹음되는 스마트폰이나 PC용 마이크, Audacity 등 파형 분석 프로그램, (선택) 압전 디스크와 오디오 입력 케이블.

변인

독립변인은 낙하 높이이며, 원문 조건인 5 cm 이하에서 1·2·3·5 cm로 바꾼다(확장 실험에서는 바닥판 재질만 바꾼다). 종속변인은 녹음에서 센 충돌 횟수 N과 소리가 끝날 때까지의 지속 시간 T이며, 간격 Δtₙ도 적는다. 통제변인은 같은 공 한 개(개체마다 반발 계수가 다르다), 바닥판과 받침, 마이크 위치, 표본율, 검출 문턱값, 실온, 놓는 방식이다.

실험 순서

  1. 바닥판을 수평계로 맞춰 탁자 안쪽에 놓고 마이크를 10~20 cm 떨어진 자리에 고정한 뒤, 손가락 두 개로 받쳤다 동시에 떼는 식으로 회전 없이 5 cm에서 놓는 방법을 정한다.

  2. 44.1 kHz·16비트 이상으로 녹음하며 공을 떨어뜨리고 10회 반복한다 — 끝 국면의 판정이 회마다 흔들리므로 반복이 곧 오차 막대다.

  3. 약 2 kHz 고역 통과 필터로 저주파 소음을 지운 뒤 봉우리 시각을 읽어 Δtₙ 표를 만든다. 세는 기준(첫 충돌 진폭의 1 %를 넘는 봉우리)을 미리 적어 둔다 — 이 문턱이 곧 “센 횟수”의 정의다.

  4. ln(Δtₙ)을 n에 대해 그려 직선 구간의 기울기에서 e = exp(기울기)를 구하고, 절편에서 낙하 높이를 역산해 실제 높이와 맞는지 본다.

  5. 문턱값을 1 %·0.3 %·0.1 %로 낮춰 가며 N이 얼마나 달라지고 어디서부터 봉우리가 겹치는지 기록하고, 파형이 뭉개진 잡음으로 바뀌는 시각을 T로 읽는다. 문턱을 낮춰도 N이 늘지 않는다면 센 횟수가 판정 기준에는 더 흔들리지 않는다는 뜻이다 — 다만 잔향에 묻히거나 겹쳐 버린 충돌은 어떤 문턱으로도 세어지지 않으니, 실제로 멎은 시각은 [더 나아가기]의 압전 디스크 신호로 교차 확인한다.

  6. 낙하 높이를 1·2·3 cm로 바꿔 ②~⑤를 되풀이해, N과 T가 높이에 따라 다르게 자라는지 비교한다.

안전 안내

⚠ 안전

5 cm 이하 낙하라 위험은 크지 않지만 슈퍼볼은 반발이 커서, 판이 조금 기울거나 공이 모서리에 맞으면 예상 밖 방향으로 튄다 — 얼굴을 판 바로 위에 두지 말고 옆에서 관찰하며, 여럿이 둘러설 때는 보안경을 쓴다. 5 cm를 넘기거나 던지듯 내리치지 않는다. 바닥판으로 판유리(창유리·거울)는 쓰지 않는다 — 석재 도마나 금속판을 쓰고 판과 마이크는 탁자 안쪽에 둔다. 굴러간 공은 밟으면 미끄러지니 세어 회수한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

5 cm에서 떨어뜨린 슈퍼볼은 몇 번이나 부딪히고, 그 소리는 몇 초 만에 끝날까? 낙하 높이를 5 cm에서 1 cm로 낮추면 충돌 횟수도 5분의 1로 줄어들까?

자료 정리

충돌 시각과 간격 Δtₙ을 표로 모아 가로축 n·세로축 ln(Δtₙ) 그래프를 그린다 — 등비 모형이 맞으면 직선이고 기울기가 ln e이며, 직선에서 벗어나는 지점이 곧 모형이 깨지는 곳이다. 문턱값별 N은 막대로 나란히 놓아 판정 기준에 얼마나 휘둘리는지 드러내고, 높이별로는 N을 ln h₀에·T를 √h₀에 대해 찍는다. (수치는 실측으로.)

결과의 의미

e = 0.85~0.95인 새 슈퍼볼이면 지속은 1.2~3.9초, 셀 수 있는 충돌은 20~60번대로 예상된다 — 다만 표면에 잔금이 간 낡은 공은 e가 0.75까지 내려가 0.7초·10번대로 떨어지니, ④에서 잰 자기 공의 e부터 넣어 보자. 낙하 높이를 5배로 키워도 지속 시간은 √5배(약 2.2배)가 되는 반면 횟수는 몇 번밖에 늘지 않을 것이다 — 횟수는 반발 계수가 거의 혼자 정하고 높이에는 로그로만 반응한다. 비행 시간과 접촉 시간이 만나는 종료 순간의 클릭 간격은 8 ms 안팎이라 44.1 kHz 녹음에 표본이 300개 넘게 들어가니, 한계는 표본율이 아니라 잔향과 진폭이다. 마지막 충돌의 힘이 첫 충돌의 40분의 1(약 −32 dB)까지 떨어져 방의 울림에 묻히기 때문이다. 그래서 답은 셋이다 — 등비 모형은 무한, 물리는 유한(수십 번), 측정은 문턱값이 정하는 수. 셋을 나란히 적고 차이의 출처를 밝히는 것이 결론이다.

더 탐구하기

  1. 바닥판을 화강암·알루미늄·나무·고무판으로 바꿔 e와 N을 재고, 횟수가 1/|ln e|에 비례하는지 보자.

  2. 압전 디스크를 바닥판에 붙여 접촉식으로 같은 신호를 받아 보자 — 잔향이 끼어들지 않으니 마이크보다 몇 번을 더 셀 수 있는지 비교된다(팔콘 힘 센서 방식의 학교판).

  3. 같은 녹음 파일을 44.1·22.05·8 kHz로 리샘플링해 다시 분석해(새로 녹음하면 대역폭까지 좁아져 원인이 갈리지 않는다), 표본율이 병목인지 잔향·문턱값이 병목인지 갈라 보자.

  4. 같은 5 cm에서 유리구슬·골프공·탁구공을 떨어뜨려, 접촉 시간이 짧은 단단한 공일수록 횟수가 느는지 보자 — 같은 e라도 끝나는 지점이 달라진다.

연결 주제

같은 해 문제 4(Upper boundary)·문제 6(Acceleration)은 바닥을 진동판으로 바꾼 판이다 — 판이 에너지를 되먹여 등비 감소가 깨지고 대신 높이의 상한과 에너지 포화가 생기며, 문제 4는 여기서 잰 반발 계수와 충돌음 간격을 그대로 쓰고, 문제 6은 같은 클릭 간격 분석으로 비행 시간을 읽는다. 이름이 비슷한 IYPT 2016 문제 4(Super Ball)는 두 판 사이 비스듬한 충돌의 접선 탄성, 2008 문제 8(Astroblaster)은 겹친 공들의 운동량 전달로 기제가 다르다.

참고문헌

[학생] C. E. Aguiar·F. Laudares, “Listening to the coefficient of restitution and the gravitational acceleration of a bouncing ball,” American Journal of Physics 71(5), 499–501, 2003, DOI 10.1119/1.1524166 (슈퍼볼 충돌음 간격으로 반발 계수와 중력 가속도를 함께 얻는 방법 — 이 원고 측정법의 원형) / 위키백과 ‘Coefficient of restitution’ / 영상 검색어 “bouncing ball sound Audacity” / [심화] E. Falcon·C. Laroche·S. Fauve·C. Coste, “Behavior of one inelastic ball bouncing repeatedly off the ground,” The European Physical Journal B 3(1), 45–57, 1998, DOI 10.1007/s100510050283 (되튐 횟수가 유한함을 실측하고, 비행 시간이 접촉 시간 수준이 되면 공이 눌린 면 위에서 진동만 한다는 종료 기제를 밝힘) · R. Cross, “The bounce of a ball,” American Journal of Physics 67(3), 222–227, 1999, DOI 10.1119/1.19229 (슈퍼볼의 접촉 시간 3.00 ms(3.12 m/s)와 τ ∝ v^−0.22·F ∝ v^1.15를 실측) · I. Stensgaard·E. Lægsgaard, “Listening to the coefficient of restitution – revisited,” American Journal of Physics 69(3), 301–305, 2001, DOI 10.1119/1.1326077 (PC 사운드카드 녹음으로 속도별 반발 계수와 충돌 시간까지 얻는 개량판 — 충돌음 방법의 원전은 1977년 번스타인). ※ 위 문헌이 측정법과 종료 기제를 덮지만, 5 cm 낙하 슈퍼볼의 충돌 횟수 자체와 그 값의 문턱값·높이 의존성을 보고한 자료는 찾지 못했다 — 원문이 묻는 그 숫자가 이 탐구의 개방 지점이다.

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