공은 어느 높이에서 가장 오래 머물까 — 튀는 공의 분포 함수

탐구 주제

IYPT 1994 문제 5 ‘Distribution function’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1994 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘의 작용」(중력)·「운동과 에너지」(자유 낙하와 역학적 에너지) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」 · 과학탐구실험1 「과학 탐구의 과정과 절차」(데이터 처리) / 물리학 「힘과 에너지」 · 진로선택 「역학과 에너지」(시공간과 운동, 탄성파와 소리의 단진동) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

자유 낙하, 등가속도 운동, 단순 조화 운동, 반발 계수, 체류 시간, 확률 밀도 함수(분포 함수), 히스토그램, 위상 고정(모드 잠금), 혼돈, 입상 기체(granular gas), 볼츠만 분포(등온 대기), 압전 소자

원리 살펴보기

농구 선수가 점프 꼭대기에서 잠깐 "떠 있는" 듯 보이는 이유는 간단하다 — 꼭대기 근처에서는 속력이 0에 가까워, 같은 높이 폭을 지나는 데 시간이 가장 오래 걸린다. 정점 h인 비행에서 높이 H를 지나는 속력은 √(2g(h−H))이므로, 공은 바닥 근처를 휙 지나고 꼭대기 근처에서 미적거린다. 이 문제는 공을 오래 지켜보며 "높이의 인구조사"를 하라는 것이다 — 전체 시간 중 높이 H~H+dH 구간에 머문 시간의 비율, 곧 체류 시간의 분포 함수를 재라는 뜻이다.

그런데 진동판 위의 공은 충돌마다 판의 다른 위상을 만나 에너지를 얻거나 잃으므로, 비행의 정점이 튐마다 달라진다. 그래서 측정되는 분포는 두 요소의 결합이다 — 한 비행 안에서 각 높이에 배분되는 시간(운동학)과, 비행마다 달라지는 정점 높이의 통계(에너지 요동). 가진이 약하면 공은 판에 위상이 고정되어 같은 높이로 규칙적으로 튀고, 세게 흔들면 튐이 불규칙해진다 — 이 갈림길이 혼돈 이론의 고전 모형이다. 불규칙 영역에서는 진동판이 "뜨거운 벽"처럼 행동해, 공 하나가 기체 분자 하나의 미니어처가 된다. 가진이 강한 극한에서는 공의 평균 에너지가 판 최대 속도의 제곱에 비례함이 실험으로 확인되어 있다 — 판 속도가 "온도" 노릇을 하는 셈이다. 그렇다면 높이 분포도 등온 대기의 지수 법칙을 닮을까? 문헌은 가진이 매우 강한 극한에서 그렇다고 보고했다 — 그 결과가 우리 장치에서도 재현되는지, 가진이 약할 때는 어떻게 달라지는지가 이 탐구의 몫이다.

알갱이 하나의 도약 통계는 뜻밖에 널리 쓰인다. 진동 이송·선별 공정(진동판 위 부품·곡물의 도약 통계가 이송·체 분리 효율을 정한다), 입상 기체 연구(진동 용기 속 알갱이 떼는 미소중력 실험으로도 연구되는 통계물리 모형계다), 비선형 동역학 교육(튀는 공은 주기배가를 거쳐 혼돈에 이르는 과정을 보여 주는 표준 실험이다), 충돌 계측(공인구 시험처럼 튐 소리의 간격으로 반발 계수를 재는 기법이 표준이다)에 두루 닿는다.

실험 설계

준비물

신호 발생기(스마트폰 앱 가능)와 소형 앰프, 코일과 페라이트 코어(원문 장치) 또는 우퍼 스피커에 단단히 붙인 평판·오목렌즈, 강철 공(원문은 1~2 mm이나 슬로모 화면에서 몇 화소밖에 안 돼 추적이 어렵다 — 문헌 표준 장치와 같은 6~10 mm 강철 공을 주로 쓴다. 이상 모형은 무차원 가속도 Γ와 반발 계수가 지배하므로 같은 강철 공이면 지름 대체가 정당하다), 안내용 유리관(약 1 m), 자·모눈 배경판, 스마트폰(240 fps 슬로모)과 삼각대, 밝은 LED 조명, 압전 버저 소자 또는 마이크와 Audacity, Tracker와 스프레드시트.

변인

독립변인은 진동면의 가진 세기(신호 전압으로 조절하는 진폭)이고, 구동 진동수는 40 Hz 한 값에 고정한다. 종속변인은 높이 구간별 체류 시간 비율, 곧 분포의 모양이다. 통제변인은 공의 지름과 재질, 진동면과 유리관의 배치, 촬영 프레임률과 조명, 실온이다.

실험 순서

1. 진동면(페라이트 코어 끝면 또는 스피커 위 판)에 공을 놓고 유리관을 씌우되, 관 하단은 진동면에서 수 mm 띄워 공기가 갇히지 않게 한다. 자를 배경에 세우고 가진을 서서히 올려 공이 계속 튀게 한다.

2. 구동 진동수를 40 Hz로 고정한다. 가진이 약하면 비행 시간이 구동 주기의 정수배로 묶여(위상 고정) 되튐 높이가 h = gk²/(8f²) ≈ 0.8·k² mm까지 작아지므로, 이 조건은 영상 대신 ⑤의 소리 방법으로 잰다. 가진을 키워 튐이 불규칙해지고 정점이 수 cm가 되는 조건에서 영상 측정을 한다.

3. 정점 분포가 다 들어오도록 높이 20~30 cm를 화면에 담고 240 fps 슬로모로 3분 이상 촬영한다(밝은 조명 필수). 처음 수십 초는 버리고, Tracker로 프레임별 공의 높이를 읽어 스프레드시트로 내보낸다.

4. 높이 축을 일정 폭 구간으로 나누고, 구간별 프레임 수를 전체로 나눠 체류 시간 비율 히스토그램을 만든다 — 이것이 문제의 분포 함수다.

5. 같은 조건에서 압전 소자나 마이크로 충돌 시각을 녹음해 튐 간격 τ를 재고, 각 비행의 정점 h=gτ²/8과 운동학으로 구간별 체류 시간을 계산해 합산한다 — 영상 히스토그램과 교차 검증한다. 이 환산은 판 진폭이 정점보다 훨씬 작을 때의 근사이므로(불규칙 조건에서 오차 수 %), 정점이 mm대인 위상 고정 자료에는 판 진폭만큼의 오차 폭을 함께 표시한다.

안전 안내

튀어 나가는 작은 강철 공에 대비해 보안경을 쓰고, 흘린 공은 바로 줍는다(밟으면 미끄러진다). 유리관은 깨지지 않게 고정하고 파손 시 맨손으로 만지지 않는다. 코일·앰프는 저전압으로만 구동하고 코일이 뜨거워지면 쉬어 가며, 연속음이 크면 음량을 낮추거나 귀마개를 쓴다. 스피커·코일 정격을 넘는 출력은 걸지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

같은 높이로 규칙적으로 튀는 공이라면, 긴 시간 동안 공이 가장 오래 머무는 높이는 바닥 근처일까 꼭대기 근처일까? 튐이 불규칙해지면 그 답은 어떻게 바뀔까?

자료 정리

가로축을 높이 H, 세로축을 체류 시간 비율로 한 히스토그램을 규칙 튐/불규칙 튐 조건별로 그린다. 불규칙 튐 자료는 세로축을 로그로 바꿔 꼬리가 직선(지수형)에 가까운지 본다. 소리 방법의 τ 목록으로 만든 분포를 같은 축에 겹치고, 기록을 반으로 잘라 두 쪽이 같은 분포를 주는지도 본다. (수치는 실측으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

위상 고정 조건에서는 꼭대기 근처에 시간이 쏠린 분포가, 불규칙 조건에서는 바닥에서 최대이고 위로 꼬리를 끄는 분포가 나올 것으로 예상된다. 같은 장치에서 가진 하나만 바꿨는데 분포의 모양이 뒤집힌다면, 그것은 운동학이 지배하는 세계에서 통계가 지배하는 세계로 건너간 증거다. 로그 눈금에서 꼬리가 직선이면 기체 대기의 지수 법칙과 견줄 수 있고, 벗어나면 그 자체가 판과 공의 충돌이 완전한 "무작위 열원"이 아니라는 발견이다. 어느 쪽이든 한 장의 히스토그램이 비행 안의 시간 배분과 비행 사이의 에너지 요동을 함께 담는다는 것이 이 문제의 핵심이다.

더 탐구하기

1. 가진 전압을 키우며 분포의 평균 높이가 판 최대 속도의 제곱에 비례하는지 확인해 보자 — 다만 문헌의 이 관계는 무차원 가속도가 튀기 시작하는 문턱보다 충분히 클 때만 성립하므로, 문턱의 세 배 이상 구간에서 비교한다.

2. 로그 눈금 꼬리의 기울기로 "입상 온도"를 정의하고, 판 재질을 바꿔(반발 계수 변화) 같은 가진에서 온도가 어떻게 달라지는지 재어 보자.

3. 유리관을 빼고 같은 측정을 반복해, 관 벽과의 마찰·충돌이 분포를 얼마나 바꾸는지 대조해 보자.

4. 반발 계수가 낮은 공으로 바꿔, 연쇄 잔튐(처터링)과 위상 고정이 쉬워질 때 분포가 봉우리형으로 바뀌는지 관찰해 보자.

연결 주제

같은 장치의 3부작 — 같은 해 문제 4(Upper boundary)는 최대 도달 높이(분포의 오른쪽 끝)가 무엇으로 정해지는지를, 문제 6(Acceleration)은 평균 역학적 에너지가 증가하다 일정해지는 시간 의존성을 다룬다. 이 원고는 정상 상태에서 시간이 높이에 어떻게 배분되는지를 맡는다.

참고문헌

[학생] Tracker(Open Source Physics) 무료 영상 분석 프로그램 / phyphox 앱 ‘(비)탄성 충돌’(소리로 튐 간격 측정) / 위키백과 ‘Barometric formula’(등온 대기 지수 분포) / 영상 검색어 “bouncing ball chaos”, “ball on vibrating plate” / [심화] K. Li, K. Liao & F. Song, “Nonlinear dynamics of a ball bouncing on a vibrating ferrite rod,” Physical Review E 112, 014213, 2025, DOI 10.1103/gh52-c2s4 (이 문제의 원조 장치인 코일 속 페라이트 막대의 자기변형 진동·진동수 2배 효과와 공의 되튐 속도 분포를 이론·실험으로 비교, 위상 고정 확인) · J.-C. Géminard & C. Laroche, “Energy of a single bead bouncing on a vibrating plate,” Physical Review E 68, 031305, 2003, DOI 10.1103/PhysRevE.68.031305 (충돌 시각 기록만으로 비행시간 분포와 시간가중 평균 에너지를 재구성 — 5단계 방법의 원형; 유리관 안내와 h=gτ²/8 근사) · S. Warr 외, “Probability distribution functions for a single-particle vibrating in one dimension,” Physica A 231, 551–574, 1996, DOI 10.1016/0378-4371(96)00102-1 (같은 계의 되튐 속도·속도·높이 분포 함수를 실측하고 해석적으로 유도한 선구 연구 — 초록까지 확인, 본문은 유료) · N. B. Tufillaro & A. M. Albano, American Journal of Physics 54, 939–944, 1986, DOI 10.1119/1.14796 (진동 테이블 위 공의 주기배가·혼돈을 다룬 학부 실험) · C. E. Aguiar & F. Laudares, American Journal of Physics 71, 499–501, 2003, DOI 10.1119/1.1524166 (충돌음으로 튐 간격과 g·반발 계수를 재는 방법, arXiv physics/0210092). ※ Warr 외는 가진이 매우 강한 극한에서 높이 분포가 볼츠만형 지수 exp(−2αgh)임을 실측·유도했다. 이 탐구의 몫은 그 결과를 학교 장비로 재현하고 위상 고정 조건의 개형과 대비하는 데 있다.