2026년 9월 30일 · 용티IYPT 1989 · 문제 17 · 역학·진동

잼을 얼마나 먹어야 뜰까 — 사람 하나를 띄우는 동력

V2 공개자료 교차확인 — 둘 이상의 독립된 자료로 확인

탐구 주제

IYPT 1989 문제 17 ‘Karlsson’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 1989 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘과 운동」(작용 반작용)·「일과 에너지」(일률) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) · 통합과학2 「환경과 에너지」(에너지의 전환과 보존) · 과학탐구실험1(측정과 어림) / 물리학 「힘과 에너지」(운동량과 충격량·일률) · 생명과학(세포 호흡과 에너지 대사) · 진로선택 「역학과 에너지」 (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

호버링(제자리 비행), 추력, 작용 반작용, 운동량 이론, 작용 원판(액추에이터 디스크), 유도 속도, 유도 동력, 원판 하중(디스크 로딩), 성능 지수(figure of merit), 일률, 에너지 밀도, 기초 대사량, 대사 효율, 페르미 어림, 외삽

원리 살펴보기

등에 작은 프로펠러를 달고 제자리에 떠 있는 사람을 생각해 보자(동화 속 인물 칼손의 설정이 꼭 그렇다). 프로펠러가 하는 일은 하나뿐이다 — 공기를 아래로 밀어 내리고, 그 반작용으로 몸을 받친다. 밀려 내려간 공기가 매초 얻는 운동량이 곧 추력 T이고, 떠 있으려면 T는 몸무게 mg와 같아야 한다. 어려운 것은 그다음, 그 일에 드는 동력이다. 로터가 쓸고 지나가는 원판의 넓이를 A, 공기 밀도를 ρ라 하면 원판을 지나는 공기가 얻는 속도(유도 속도)는 √(T/2ρA)이고, 필요한 동력은 그 둘의 곱 P = T^(3/2)/√(2ρA)가 된다. 원판 넓이 A가 분모의 제곱근 안에 들어 있다는 것 — 이 한 가지가 이 문제의 전부다. 같은 무게라도 로터를 키워 넓은 공기를 천천히 밀면 동력이 줄고, 작은 프로펠러로 좁은 공기를 세게 밀면 동력이 치솟는다. 무게가 늘면 동력은 3/2제곱으로 는다. 몸집이 커질수록 두 방향 모두에서 사정이 나빠진다.

이제 그 동력을 사람의 몸으로 대야 한다. 로터가 이상적이지 않은 몫을 성능 지수(figure of merit)로 나누고, 근육이 음식 에너지를 일로 바꾸는 효율(대략 20~25 %)로 다시 나눈 다음, 잼의 에너지 밀도(100 g당 약 280 kcal, 곧 11 kJ/g 남짓)로 나누면 시간당 먹어야 할 질량이 나온다. 직접 계산해 보면 등에 멜 만한 반지름 0.5 m짜리 로터에서는 필요한 대사 동력이 십만 W, 잼으로는 시간당 수십 kg 규모가 된다. 훈련하지 않은 성인이 한 시간 내내 낼 수 있는 기계적 출력은 100 W 안팎, 잘 훈련된 선수라도 400 W 남짓이고, 며칠 이상 이어지는 활동에서 음식으로 감당하는 대사 에너지의 상한마저 기초 대사량의 2.5배 언저리라는 측정이 있다(Thurber 외 2019). 자릿수가 두세 개 어긋난다. 시코르스키 상을 받은 인력 헬리콥터 Atlas가 지름 20.2 m짜리 로터 넷, 합해서 1,300 m²에 가까운 원판을 쓰고도 64초를 겨우 떠 있었던 것이 이 계산의 실물 증거다.

원판 하중(무게÷원판 넓이)이라는 한 숫자가 하늘을 나는 기계의 운명을 가른다. 헬리콥터·드론 설계(로터를 키우면 동력이 줄지만 기체와 착륙장이 커진다 — 그 맞바꿈이 곧 설계다), 전기 수직이착륙기(eVTOL)(배터리의 에너지 밀도가 연료보다 훨씬 낮아, 원판 하중을 낮추지 못하면 체공 시간이 남지 않는다), 인력 항공기(사람의 출력이 고정되어 있으니 설계자가 손댈 것은 무게와 날개·로터의 넓이뿐이다), 생물의 비행 한계(몸무게는 길이의 세제곱으로, 날개가 쓸고 가는 넓이는 제곱으로 커진다. 원판 하중이 몸집에 비례해 커지니 작을수록 호버링이 값싸다. 벌새와 곤충에게 제자리 비행이 일상인 이유다)에 이 숫자가 그대로 걸려 있다.

실험 설계

준비물

지름이 다른 소형 프로펠러 3종 이상(같은 계열, 25 cm 이하)과 브러시리스 모터·전자변속기, 보호망(가드)이 달린 시험대와 클램프, 전자저울(0.1 g 분해능), 전압·전류를 함께 읽는 안정화 전원장치 또는 전력계, 광학 회전계, 자와 줄자, 체중계, 스톱워치, 보안경.

변인

독립변인은 프로펠러의 지름(곧 원판 넓이 A)과 회전수(곧 추력 T)이다 — 한 번에 하나씩만 바꾼다. 종속변인은 저울로 읽은 추력과 모터에 들어간 전기 동력이다. 통제변인은 날개 수와 피치, 모터·전자변속기·배선, 프로펠러를 띄운 높이, 전압의 측정 지점, 바람이 없는 실내 환경이다. 계단 측정에서는 계단의 총 높이가 통제변인, 오르는 데 걸린 시간이 종속변인이다.

실험 순서

  1. 가드를 씌운 시험대를 전자저울 위에 클램프로 고정하고, 프로펠러가 위쪽으로 바람을 보내도록(내리흐름이 저울을 향하지 않도록) 단다. 원판은 저울면에서 지름의 3배 이상 띄워 되돌아오는 흐름을 피하고, 전원을 끈 채 영점을 맞춘다.

  2. 회전수를 낮은 값부터 단계적으로 올리며 각 단계에서 저울 눈금의 증가량(추력 T = 증가 질량 × g), 전압과 전류(전기 동력 P = VI), 회전계 값을 함께 기록한다. 조건마다 3회 반복해 흩어짐을 남긴다.

  3. 전원을 완전히 끊고 날개가 멈춘 뒤 프로펠러를 지름만 다른 것으로 바꿔 ②를 되풀이한다. 지름별 자료의 추력 구간이 겹치도록 회전수 범위를 잡는다.

  4. 가로세로 모두 로그 눈금인 그래프에 추력–전력 점을 지름별로 찍어 기울기를 읽고, 각 점의 이상 동력 T^(3/2)/√(2ρA)를 계산해 그 비(성능 지수와 모터 효율의 곱)를 지름별로 구한다.

  5. 사람의 출력을 잰다. 몸무게와 계단의 총 높이를 재고, 난간을 잡고 빠른 걸음으로 오르며 시간을 재어 P = mgh/t를 구한다 — 30초짜리와 3분짜리 두 조건으로. 3분 조건은 오르내림을 되풀이하되 시간은 오르는 구간만 합산한다(내려오는 시간을 넣으면 출력이 몇 배나 작게 나온다).

  6. ④에서 얻은 효율에서 모터·변속기 효율(0.7~0.8)을 나눈 성능 지수만 써서 T = (내 몸무게)×g, A = π(0.5 m)²인 가상의 등짐 로터로 외삽하고, 근육 효율과 잼의 에너지 밀도로 나누어 시간당 잼 섭취량을 계산한다. 그 값을 ⑤의 내 출력, 하루 섭취 열량 옆에 나란히 적는다.

안전 안내

⚠ 안전

회전하는 프로펠러는 손가락을 베고 눈을 다치게 한다. 반드시 보호망(가드)을 씌운 프로펠러만 쓰고, 시험대는 클램프로 책상에 단단히 고정한다. 지름 25 cm 이하의 소형 프로펠러와 12 V 이하 안정화 전원만 사용하며, 손에 들고 돌리지 않는다. 통전 중에는 회전면 안으로 손·자·측정기를 넣지 않고, 프로펠러 교체나 각도 조정은 전원을 완전히 끊고 날개가 멈춘 뒤에만 한다. 모두 보안경을 쓰고 긴 머리·소매·목걸이를 정리하며, 관찰자는 회전면 옆으로 1 m 이상 떨어져 선다. 계단 측정에서는 뛰지 말고 난간을 잡은 채 빠른 걸음으로 오르며, 한 번에 한 사람씩만 오르고 내려올 때는 천천히 걷는다. 심장·호흡기에 질환이 있거나 몸이 불편하면 계단 측정에 참여하지 않는다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

프로펠러 지름만 두 배로 키우면 같은 추력을 내는 데 드는 실제 전력은 이상 이론이 말하는 절반까지 내려갈까, 아니면 그보다 덜 줄어들까? 그리고 지름을 계속 키워 가면 어디에서 벽에 부딪힐까?

자료 정리

지름별로 (회전수, 추력, 전기 동력)을 한 표에 모으고, 가로세로 모두 로그 눈금인 그래프에 추력–전력 점을 지름마다 다른 기호로 찍는다. 같은 그림에 지름별 이상 동력 곡선 T^(3/2)/√(2ρA)를 겹쳐 그려 측정점이 그 곡선에서 위로 얼마나 떨어져 있는지 읽는다. 이어서 추력 하나를 고정해 뽑은 전력을 가로축이 지름인 그래프로 다시 그린다. 계단에서 잰 출력은 외삽한 필요 동력과 같은 축 위에 표시한다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

로그 그래프의 추력–전력 점들은 기울기 3/2에 가까운 직선 위에 놓이고, 지름이 큰 프로펠러의 직선일수록 아래쪽에 놓일 것으로 예상된다. 측정점이 이상 곡선보다 얼마나 위에 있는가가 곧 여러분의 로터와 구동계가 잃는 몫이고, 그 잃는 몫까지 넣어 몸무게 규모로 외삽했을 때 나오는 수가 이 문제의 답이다. 그 수를 계단에서 잰 자기 출력, 하루 섭취 열량과 나란히 적어 보면 세 숫자가 같은 자리에서 만나지 않는다. 게다가 그만한 잼을 지니면 그 무게가 다시 추력을 요구하는 되먹임까지 붙는다. 그래서 야위지 않을 섭취 속도를 묻는 이 물음의 진짜 답은 하나의 숫자가 아니라, 로터를 얼마나 키워야 그 숫자가 사람의 범위로 내려오는가라는 되물음이다. 어림 계산의 쓸모는 “불가능하다”가 아니라 “무엇을 바꾸면 가능해지는가”를 가리키는 데 있다.

더 탐구하기

  1. 지름은 같고 날개 수나 피치만 다른 프로펠러로 같은 추력에서 전력을 비교해, 원판 넓이 말고 무엇이 성능 지수를 바꾸는지 조사해 보자(가드와 지름 상한은 지킨다).

  2. 로터를 키우면 구조물도 무거워진다. 프로펠러·모터·지지대의 질량을 지름별로 재어, 지름을 키워 얻는 동력 이득과 늘어난 무게가 되돌려 주는 손해가 맞물리는 지점을 계산해 보자 — 인력 헬리콥터 설계자들이 실제로 푼 문제다.

  3. 공기 밀도 ρ만 바꿔 같은 계산을 되풀이해 보자. 화성 탐사 헬리콥터가 왜 작은 기체에도 큰 로터를 매우 빠르게 돌려야 했는지가 같은 식에서 나온다.

  4. 잼 대신 다른 연료를 넣어 보자. 같은 무게를 같은 시간 띄우는 데 드는 잼·휘발유·리튬이온 배터리의 질량을 에너지 밀도로 견주고, 그 질량이 다시 무게가 되어 필요 동력을 키우는 되먹임도 넣어 보자.

연결 주제

같은 해 문제 11 ‘모기(Mosquito)’ — 그쪽은 공기 밀도 ρ가 옅어져 곤충이 스스로 떠 있지 못하게 되는 높이를 묻고, 이쪽은 같은 식에서 원판 넓이 A와 무게 쪽을 붙든다. ‘무게당 필요 동력 = √(원판 하중/2ρ)’라는 한 줄이, 밀리그램짜리 곤충에게는 왜 제자리 비행이 값싸고 사람에게는 왜 불가능에 가까운지를 한꺼번에 설명한다. IYPT 2021 문제 17 ‘손 헬리콥터(Hand helicopter)’ — 회전 날개의 지름과 피치를 바꿔 성능을 재는 절차가 겹쳐, 그쪽의 로터와 회전수 측정법을 이 원고의 측정대에 그대로 얹을 수 있다.

참고문헌

[학생] NASA 항공학 안내서 ‘Propeller Thrust’(grc.nasa.gov — 회전 날개 추력의 운동량 이론) / AeroVelo ‘Atlas’ 시코르스키 상 비행 기록(2013년 6월 13일, 64.11초·최고 3.3 m; 지름 20.2 m 로터 4개, 기체 55 kg) / USDA FoodData Central ‘Jams and preserves’(100 g당 약 278 kcal) / 영상 검색어 “Atlas human powered helicopter”, “propeller thrust test stand” / [심화] C. D. Robertson, T. M. Reichert, “Design and Development of the Atlas Human-Powered Helicopter,” AIAA Journal 53(1), 20–32, 2015, doi:10.2514/1.J053579 (인력 호버링의 한계를 로터 최적화와 무게 예산으로 분석) · C. Thurber 외, “Extreme events reveal an alimentary limit on sustained maximal human energy expenditure,” Science Advances 5(6), eaaw0341, 2019, doi:10.1126/sciadv.aaw0341 (지속 활동의 대사 상한이 기초 대사량의 약 2.5배) · D. R. Wilkie, “Man as a source of mechanical power,” Ergonomics 3(1), 1–8, 1960, doi:10.1080/00140136008930462 (지속 시간별 사람의 기계적 출력) · J. B. Brandt, M. S. Selig, “Propeller Performance Data at Low Reynolds Numbers,” AIAA 2011-1255, 2011, doi:10.2514/6.2011-1255 (소형 프로펠러 추력·동력 계수 실측 — 외삽의 기준) · D. J. E. Groom 외, Proceedings of the Royal Society B 285(1873), 20172011, 2018, doi:10.1098/rspb.2017.2011 (벌새 호버링 대사율·효율의 몸집 의존). ※ 운동량 이론, 사람의 출력 한계, 생물의 호버링 대사율은 각각 문헌이 있으나 셋을 한 사슬로 이어 등짐 크기 로터의 실측 성능 지수까지 넣어 계산한 문헌은 찾기 어렵다 — 그 사슬을 자기 데이터로 잇는 것이 이 탐구의 개방 지점이며, 파일럿 전이므로 본문의 관계는 예상·경향으로 서술했다.

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