질량이 달라도 왜 같이 떨어질까

깃털과 쇠구슬을 함께 떨어뜨리면 쇠구슬이 먼저 닿는다. 그래서 무거운 물체가 빨리 떨어진다고 생각하기 쉽고, 실제로 아리스토텔레스 이후 이천 년 동안 그렇게 여겨졌다.

그런데 공기를 없애고 같은 실험을 하면 둘은 정확히 같이 닿는다. 위 화면의 세 공은 1 kg, 5 kg, 10 kg이고 공기 저항은 꺼진 상태로 시작한다. 낙하 시작을 누르면 세 공이 같은 높이를 나란히 지나 동시에 바닥에 닿는다. 뒤에 남는 잔상의 간격이 아래로 갈수록 벌어지는 것은 속도가 계속 커지기 때문인데, 벌어지는 정도까지 세 공이 똑같다.

속력-시간 그래프에서는 세 직선이 하나로 겹친다. 기울기가 곧 가속도이고, 그 값이 9.8 m/s²다.

조건을 바꾸면

높이를 바꿔 계산하면 낙하 시간이 높이의 제곱근에 비례한다는 것이 드러난다. 높이를 네 배로 늘려도 시간은 두 배밖에 늘지 않는다.

시뮬레이션의 낙하 높이를 바꾸면 예상 시간과 충돌 속력이 이 표대로 따라 움직인다.

왜 질량이 상쇄되는가

물체를 아래로 당기는 힘은 질량에 비례한다. 무거울수록 세게 당겨진다. 그런데 같은 힘을 받았을 때 속도가 변하는 정도는 질량에 반비례한다. 무거울수록 잘 움직이지 않는다. 두 효과가 정확히 같은 크기라서 서로 지워진다.

중력이 무거운 물체를 더 세게 당기는 것은 맞다. 다만 그만큼 움직이기도 어려워져서, 결과적으로 속도가 변하는 정도는 모두 같아진다.

그럼 깃털은 왜 느릴까

조작 패널에서 공기 저항을 켜면 세 공이 갈라지고 가벼운 공이 뚜렷하게 뒤처진다. 공기 저항의 크기는 물체의 단면적과 속도에 좌우되고 질량과는 거의 무관하다. 그 힘이 만드는 감속은 질량으로 나뉘므로, 무게에 비해 표면이 넓을수록 크게 느려진다.

깃털이 느린 이유는 가벼워서가 아니라, 무게에 비해 표면이 넓어서다.

시뮬레이션의 공은 눈에 보이게 하려고 무게에 비해 크게 그려져 있다. 그래서 저항을 켰을 때 벌어지는 차이가 같은 무게의 쇠공을 실제로 떨어뜨렸을 때보다 크게 나타난다. 실제 1 kg 쇠공은 20 m를 떨어지는 동안 공기 저항의 영향이 거의 드러나지 않는다.

교실에서

낙하 시간을 재는 실험은 20 m를 확보하기 어렵다. 대신 5 m와 20 m의 시간 비가 0.50이라는 점을 먼저 예측하게 한 뒤 표를 확인시키면, 높이를 네 배로 해도 시간은 두 배라는 관계를 숫자로 잡을 수 있다.

속력-시간 그래프를 먼저 보여 주고 기울기가 무엇인지 묻는 것도 방법이다. 기울기가 9.8로 일정하다는 것을 학생이 직접 읽어 내면, 가속도가 일정하다는 말이 문장이 아니라 그림이 된다.

자주 묻는 질문