떨어뜨렸더니 솟구치는 공 — 핑퐁 로켓

탐구 주제

IYPT 2024 문제 5 ‘Ping Pong Rocket’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2024 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「힘과 운동」·「일과 에너지 전환」 / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템)·「물질과 규칙성」(중력·부력) / 물리학·진로선택 「역학과 에너지」 (운동량과 충격량·운동량 보존·부력·비관성 기준계) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

부력(아르키메데스의 원리), 자유 낙하, 무중력(겉보기 무중력), 겉보기 중력, 관성 기준계·비관성 기준계, 급감속(충격), 충격량과 운동량, 압력 충격량, 표면 장력·모세관력, 접촉각·젖음성, 부가 질량(첨가 질량), 공동(캐비티)과 물 제트, 이젝션 속도, 에너지 전달

원리 살펴보기

탁구공을 물에 띄워 놓고 컵째로 바닥에 떨어뜨리면, 왜 공이 처음 높이보다 훨씬 높게 튀어 오를까? 비밀은 “낙하하는 동안”과 “바닥에 부딪히는 순간”이라는 두 장면에 나뉘어 있다. 먼저 컵이 자유 낙하하는 동안에는 컵도 물도 공도 똑같이 떨어지므로, 컵 안에서는 무게와 부력이 모두 사라진 겉보기 무중력 상태가 된다. 평소 공을 물 위로 밀어 올리던 부력이 없어지자, 이번에는 물 표면과 공이 맞닿은 곳의 표면 장력(모세관력)이 공을 오히려 물속으로 살짝 더 끌어당긴다.

그러다 컵이 바닥에 “쾅” 부딪히면 이야기가 뒤집힌다. 컵은 아주 짧은 시간(약 1000분의 1초) 만에 속도를 잃는데, 이 급감속은 컵 안에 순간적으로 수백 배의 겉보기 중력을 만든다. 부력은 겉보기 중력에 비례하므로, 이 찰나에 공이 받는 위로 미는 부력도 수백 배로 폭발한다. 낙하 동안 물속으로 더 깊이 잠겨 있던 공은, 이제 그 거대한 부력에 떠밀려 평소의 뜨는 높이로 되돌아가려 하고 — 그 되돌아가는 속도가 너무 커서 공은 물 밖으로 총알처럼 쏘아 올려진다. 실제 실험에서 공이 튀어 나가는 속도는 컵이 바닥에 닿기 직전 속도의 약 세 배에 이른다. 그래서 이것을 “물 대포(water cannon)”라고도 부른다.

“짧은 순간의 큰 가속도가 부력·압력을 폭발적으로 키운다”는 이 얼개는 장난감을 훌쩍 넘어선다. 물수제비·물방울 충돌의 물기둥(제트)(수면에 생긴 공동이 되메워지며 중심에서 빠른 물줄기가 솟는 현상과 같은 원리다), 충돌·낙하 시 액체의 압력 집중(자동차 충돌 시 연료 탱크, 착수하는 물체가 받는 순간 하중), 일부 식물의 포자·씨앗 사출(표면 장력으로 저장한 에너지를 순간에 풀어 멀리 날린다), 그리고 놀이공원 자유낙하 기구의 겉보기 무중력(떨어지는 동안 몸이 뜨는 느낌)에까지 두루 나타난다.

실험 설계

준비물

탁구공(표면 상태가 다른 것 여러 개 — 새 공, 사포로 살짝 문질러 젖음성을 높인 공), 물, 투명하고 단단한 플라스틱 용기(유리는 쓰지 않는다; 물을 최대 2 L까지 담을 수 있는 크기), 컵을 같은 높이에서 반듯이 떨어뜨릴 낙하 안내대(수직 레일이나 관, 또는 높이 눈금을 붙인 벽), 바닥을 보호할 매트, 스마트폰(고속 촬영), 낙하·발사 구간 옆에 세운 키가 큰 거리 눈금(장대·줄자), 보안경, 바닥에 깔 방수포.

변인

독립변인은 컵을 떨어뜨리는 낙하 높이이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 공이 물 밖으로 발사된 뒤 도달하는 최대 높이이다(고속 영상에서 발사 직후 공의 위치를 연속 프레임으로 재어 최고점을 읽거나, 발사 직후 속도로부터 구한다). 통제변인은 물의 부피(예: 1 L로 고정), 컵의 종류와 지름, 탁구공의 종류와 표면 상태(젖음성), 공을 놓는 처음 잠김 정도, 낙하가 반듯한 수직이 되도록 하는 안내대, 그리고 같은 단단한 바닥이다. (뒤이어 물의 부피나 공의 젖음성을 독립변인으로 바꿔 같은 실험을 되풀이한다.)

실험 순서

1. 컵에 물을 정해진 부피(예: 1 L)만큼 담고 탁구공을 물 위에 띄운다. 컵 옆에는 발사된 공의 높이를 읽을 키가 큰 거리 눈금(장대·줄자)을 세워 둔다. 사람은 모두 보안경을 쓴다.

2. 컵을 낙하 안내대에 맞춰 정해진 높이에서 반듯이(기울지 않게) 떨어뜨린다. 컵이 바닥에 부딪히는 순간부터 공이 솟구쳐 눈금을 지나가는 구간을 옆에서 고속으로 촬영한다.

3. 영상에서 공이 도달한 최고점(또는 발사 직후 짧은 시간의 위치–시간 자료로부터 발사 속도)을 읽어 최대 높이를 구한다. 같은 조건에서 여러 번 반복해 평균과 흩어짐을 본다.

4. 낙하 높이만 단계적으로 바꾸어(더 낮게, 더 높게) 같은 방식으로 떨어뜨리고 촬영해, 낙하 높이에 따른 공의 도달 최대 높이의 변화를 비교한다. 이어서 물의 부피(최대 2 L까지)와 공의 젖음성을 바꿔 같은 실험을 되풀이한다.

안전 안내

물을 담은 컵을 떨어뜨리는 실험이라 물이 사방으로 튀고 바닥이 미끄러워진다. 방수포와 매트를 깔고, 젖은 바닥에 미끄러지지 않도록 주의한다. 발사된 탁구공이 얼굴·눈으로 튈 수 있으므로 반드시 보안경을 쓰고, 컵 바로 위로 얼굴을 들이대지 않으며, 낙하 지점 위쪽과 주변에 사람이 없게 한다. 유리컵·유리 비커는 바닥 충격에 깨져 파편이 튀므로 쓰지 않는다 — 반드시 단단한 플라스틱 용기만 쓰고, 낮은 높이부터 조금씩 올려 간다. 낙하로 발등을 다치지 않도록 발 위치에 주의하고, 물 근처에서 전기 기기(충전 중인 스마트폰 등)를 멀리 두어 감전을 피한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

컵을 두 배 높은 곳에서 떨어뜨리면 공이 도달하는 최대 높이도 그만큼 높아질까, 아니면 어느 낙하 높이를 넘으면 더는 크게 늘지 않거나 컵이 버티지 못할까? 또 물을 더 많이(2리터 가까이) 담으면 공은 더 높이 오를까, 아니면 오히려 낮아질까?

자료 정리

조건별로 구한 공의 도달 최대 높이를 표로 모은 뒤, 가로축을 낙하 높이로 하여 경향을 그래프로 나타낸다. 물의 부피를 바꾼 실험은 가로축을 물의 부피로 하여 따로 그리면, 도달 높이가 최대가 되는 “최적 물의 양”이 2리터 안에서 어디쯤인지 드러난다. 심화 과정에서는 발사 직후 공의 속도와 컵이 바닥에 닿기 직전 속도의 비(이젝션 속도 비)를 구해, 그 값이 낙하 높이보다 공의 젖음성에 더 민감하게 달라지는지 살핀다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

대체로 낙하 높이가 클수록 바닥에 부딪히는 속도가 커지고 급감속도 세져, 공이 받는 순간 부력이 커지므로 공은 더 높이 발사되는 경향이 예상된다. 다만 낙하 높이를 계속 올리면 컵이 견디는 한계와 물이 튀어 흩어지는 손실 때문에 어느 지점부터는 이득이 둔해질 것으로 보인다. 이는 공을 쏘아 올리는 힘이 “저장해 둔 에너지”가 아니라, 급감속이 만든 겉보기 중력에 부력이 순간적으로 비례해 커지는 데서 나온다는 뜻이다. 그래서 자유 낙하(무중력)라는 앞 장면이 없으면 이 현상은 일어나지 않는다 — 낙하 동안 공이 표면 장력에 끌려 물속으로 더 깊이 잠겨 있어야, 충돌 순간의 큰 부력이 그만큼 세게 공을 밀어낼 수 있기 때문이다. 물의 양·컵의 종류·공의 젖음성 같은 조건을 일정하게 통제하지 못하면 낙하 높이의 효과가 그 흔들림에 묻히므로, 조건을 얼마나 재현성 있게 유지하느냐가 이 실험의 성패를 가른다.

더 탐구하기

1. 물의 부피를 0.5 L·1 L·1.5 L·2 L로 바꿔 가며, 도달 높이가 최대가 되는 “최적 물의 양”이 2리터 안에서 실제로 어디쯤인지 찾아보자.

2. 새 탁구공과 사포로 살짝 문질러 표면을 더 젖게 만든 공을 같은 조건에서 비교해, 공이 물에 잘 젖을수록(친수성일수록) 더 높이 발사되는지 확인해 보자.

3. 컵의 지름·모양을 바꾸거나 물의 온도(표면 장력이 달라진다)를 바꿔, 발사 높이가 어떻게 달라지는지 살펴보자.

4. 고속 영상에서 컵이 닿기 직전 속도와 공이 발사된 직후 속도를 각각 재어, 그 비(이젝션 속도 비)가 “약 세 배”라는 문헌 값과 얼마나 맞는지 견주어 보자.

연결 주제

문제 16 ‘쿠션 투석기’(눌린 공기의 압력이 쿠션 위 물체를 쏘아 올리는 발사 속도), 문제 4 ‘회전 고무줄’(발사 거리의 최적화) — 짧은 순간에 몰린 힘으로 물체가 튀어 나가는 속도·높이를 고속 영상으로 재어 분석하는 같은 방법을 그대로 이어서 쓸 수 있다.

참고문헌

[학생] B. Andreotti 외, “The ping-pong ball water cannon”(물컵 낙하로 탁구공이 발사되는 바로 이 현상을 다룬 원저; 실험 영상·해설) / 영상 검색어 “ping pong ball water cannon”, “ball launched from dropped cup of water slow motion” / [심화] B. Andreotti, W. Toutain, C. Noûs, S. El Rhandour-Essmaili, G. Pérignon-Hubert, A. Daerr, “The ping-pong ball water cannon,” Comptes Rendus. Mécanique 348(6-7), 2020, 423–437, doi:10.5802/crmeca.46 (자유 낙하가 이 현상에 필수임을 보이고, 충돌 시 압력 충격량을 적분한 운동량 균형으로 이젝션 운동량의 크기를 설명한다; 낙하 동안 표면 장력·모세관력으로 공이 더 깊이 잠기고 충돌 시 거대한 부력이 공을 밀어 올린다 — 액체 속 공동이 무너지며 제트가 솟는 현상에 견준다. 이 문제는 IPT 2020 대회 문제로 출제되었다) · A. Barlet, N. Malhomme, “Suction-ejection of a ping-pong ball in a falling water-filled cup,” Emergent Scientist 6, 2 (2022), doi:10.1051/emsci/2022002 (낙하 높이를 21~66 cm로 바꾸며 측정해, 공이 발사되는 속도가 충돌 직전 속도의 약 세 배에 이르고, 충돌 순간 가속도가 중력의 약 300배에 달함을 보였다; 공의 젖음성(접촉각)이 클수록 낙하 중 더 깊이 잠겨 발사가 세짐을 확인했다). ※ 위 두 문헌은 “낙하 중 표면 장력에 의한 침강 + 충돌 시 폭발적 부력”이라는 메커니즘과 “발사 속도 ≈ 충돌 속도의 세 배”라는 경향을 확립된 형태로 뒷받침한다. 다만 두 연구는 대체로 작은 컵·수백 mL 규모에서 이젝션 “속도”를 다루었고, 이 문제가 묻는 “최대 2리터의 물로 도달하는 최대 높이”와 그 최적 물의 양·컵 모양·낙하 높이의 관계, 그리고 큰 부피에서의 물 튐 손실은 실험 조건마다 달라지는 이 탐구의 개방 지점이다. 아직 파일럿(실측) 전이므로 위 관계는 예상·경향으로 서술했다.