구멍 하나가 접안렌즈를 대신한다 — 단렌즈 망원경

탐구 주제

IYPT 2017 문제 3 ‘Single Lens Telescope’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2017 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「빛과 파동」(볼록렌즈에 의한 상) / 고등학교 과학탐구실험1(측정과 오차) · 물리학 「빛과 물질」(빛의 굴절과 렌즈, 빛의 간섭) · 진로선택 「전자기와 양자」(빛의 회절과 분해능) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

볼록렌즈, 초점거리, 실상, 각배율, 조리개, 핀홀 효과, 착란원(흐림 원), 피사계 심도, 근점, 회절, 에어리 원반, 레일리 기준, 분해능, 색수차

원리 살펴보기

갈릴레오의 망원경에는 렌즈가 두 개다 — 빛을 모아 상을 맺는 대물렌즈와 그 상을 확대해 보는 접안렌즈. 그런데 이 문제는 렌즈 하나에 바늘구멍 하나면 충분하다고 말한다. 볼록렌즈는 이미 제 몫을 다하고 있다. 초점거리 f인 렌즈는 먼 풍경의 뒤집힌 실상을 초점면에 맺고, 각크기 θ인 물체의 상 크기는 대략 fθ다. 남은 문제는 그 작은 상을 어떻게 크게 보느냐다. 눈은 근점(약 25 cm)보다 가까운 것에 초점을 맞추지 못해 무작정 다가가면 흐려질 뿐이다. 바로 이 자리를 바늘구멍이 대신한다.

눈앞에 1 mm 남짓한 구멍을 대면 눈에 들어오는 광선 다발의 지름이 동공에서 구멍 지름으로 줄고, 초점이 어긋난 점이 망막에 그리는 흐림 원(착란원)도 그만큼 작아진다 — 초점을 고치지 않고도 상이 또렷해지는 핀홀 효과이며, 눈을 가늘게 뜨면 잘 보이는 것과 같은 이치다. 덕분에 눈을 실상에서 몇 cm까지 바싹 붙일 수 있고, 눈과 상 사이 거리를 d라 하면 각배율이 대략 f/d가 되어 맨눈보다 훨씬 크게 보인다. 대가는 밝기다. 구멍이 이 망원경의 조리개 노릇을 하므로 들어오는 빛은 구멍의 넓이, 곧 지름의 제곱에 비례해 줄어든다. 그렇다고 한없이 줄일 수도 없다. 지름 a인 구멍이 만드는 에어리 원반의 각반지름이 약 1.22λ/a로 커져 회절이 발목을 잡기 때문이다. 배율·선명도·밝기가 구멍 지름 하나를 두고 삼각으로 맞물리는 것이 이 문제의 핵심이다.

같은 맞바꿈이 실험실 밖에서도 익숙하게 일한다. 핀홀 카메라와 일식 관측(렌즈 없이 구멍만으로 상을 맺는다 — 일식 때 나뭇잎 그늘에 초승달이 줄지어 찍힌다), 사진의 조리개(조리개를 조이면 피사계 심도가 깊어지지만 그만큼 어두워져 노출을 길게 잡아야 한다), 바늘구멍 안경과 시력 검사의 핀홀 가림판(굴절 이상이 있어도 작은 구멍으로 보면 시력이 오른다 — 안경으로 교정될 흐림인지 가려내는 검사다), 광학 기기의 구경 설계(수차를 줄이려 조리개를 조일수록 회절 한계가 다가온다)가 모두 같은 물리다.

실험 설계

준비물

초점거리가 다른 볼록렌즈(돋보기, 200 mm 이상) 2~3개, 알루미늄 포일과 검은 종이, 굵기가 다른 바늘·핀, 스탠드와 종이관(또는 광학대), 자와 줄자, 주기 1·2·3·5 cm 줄무늬 차트, 수동 노출 스마트폰, 삼각대.

변인

독립변인은 눈앞에 대는 구멍의 지름이며, 두 번째 단계에서는 렌즈의 초점거리를 독립변인으로 삼는다(한 번에 하나만 바꾼다). 종속변인은 판별되는 가장 가는 줄무늬 간격으로 나타낸 분해능, 상의 밝기(스마트폰의 노출 시간으로 대신 잰다), 눈과 상 사이 거리에서 계산한 각배율이다. 통제변인은 차트와 그 거리, 조명의 밝기, 렌즈의 정렬, 관측자와 관측 시각이다.

실험 순서

1. 렌즈의 초점거리를 먼저 잰다 — 창밖 먼 풍경을 흰 종이에 맺어 가장 선명할 때의 렌즈–종이 거리가 초점거리 f다.

2. 포일을 검은 종이에 붙이고 굵기가 다른 바늘로 구멍을 여러 개 뚫은 뒤, 자와 함께 접사 촬영해 실제 지름(대략 0.3~2 mm)을 확인한다.

3. 렌즈를 스탠드에 고정해 10 m 이상 떨어진 줄무늬 차트를 겨눈다. 구멍을 눈에 바짝 붙인 채 앞뒤로 움직여 상이 가장 선명한 지점을 찾고, 눈–렌즈 거리에서 상 거리 v = fu/(u−f)를 빼 눈–상 거리 d를 구한다(u는 차트까지 거리, 각배율 추정값은 f/d다).

4. 구멍을 지름 순으로 바꿔 가며 판별되는 가장 가는 줄무늬, 상의 밝기(스마트폰의 노출 시간으로 대신 잰다), 그때의 d를 각각 3회씩 기록한다.

5. 구멍을 더 줄여 가며 상이 도로 흐려지는 지름을 찾는다 — 착란원이 줄어드는 기하학의 구간과 회절이 이기는 파동의 구간이 갈리는 경계다.

6. 초점거리가 다른 렌즈로 ③~⑤를 되풀이하고, 마지막에 렌즈를 뺀 핀홀 카메라(흰 종이에 투영)와 렌즈 두 개짜리 케플러식 망원경으로 같은 차트를 보아 세 방식을 비교한다.

안전 안내

절대로 이 장치로 태양을 보지 않는다 — 볼록렌즈는 태양 빛을 모으므로 잠깐만 들여다봐도 망막이 영구히 손상된다. 작은 구멍이 빛을 구멍 넓이만큼 줄이기는 하지만 지름 1 mm면 고작 네 배, 0.3 mm라도 마흔 배 남짓이라 인증 태양 필터가 요구하는 수만 분의 1(ISO 12312-2)에는 어림없고 적외선을 골라 거르지도 못한다. 눈부심만 줄어 반사적으로 눈을 감지 못하게 되고 렌즈가 키운 상만큼 더 넓은 망막이 상한다 — 그래서 오히려 더 위험하다. 태양은 렌즈 없이 구멍으로 흰 종이에 상을 투영해서만 관측한다. 렌즈를 태양 쪽에 두면 초점에 닿은 종이·옷·피부에 화상과 화재가 생기니 쓰지 않는 렌즈는 엎어 두거나 덮개를 씌운다. 포일에 바늘로 구멍을 뚫을 때는 받침을 대고 손을 찔리지 않게 한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

구멍을 절반으로 줄이면 상은 더 선명해질까? 계속 줄이면 언제까지나 더 선명해질까, 아니면 어느 지름부터는 도로 흐려질까? 그때 밝기는 얼마나 어두워져 있을까?

자료 정리

구멍 지름을 가로축으로, 세로축이 각각 분해능(판별된 가장 가는 줄무늬 간격의 역수)과 상대 밝기인 두 그래프를 나란히 그린다. 밝기는 노출 시간의 역수(1/t)로 정의해 가로축을 구멍의 넓이로 바꿨을 때 직선에 가까워지는지 보고, 선명도는 어느 지름에서 봉우리를 이루는지 개형을 살핀다. 배율은 초점거리를 가로축으로 f/d 관계와 맞는지 본다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

구멍을 줄여 가면 상은 처음엔 또렷해지다가 어느 지름을 지나면 다시 뭉개질 것으로 예상된다. 앞 구간은 초점이 어긋나 생긴 착란원이 구멍에 잘려 작아지는 기하학의 영역이고, 뒤 구간은 회절이 지배하는 파동의 영역이다. 두 영역이 만나는 지름이 이 망원경의 최적 조리개이며, 그때도 밝기는 구멍 넓이만큼 이미 깎여 있다. 배율을 키우려 눈을 상에 더 붙이면 시야가 좁아지고 머리가 조금만 흔들려도 상을 놓친다. 배율·선명도·밝기 가운데 둘을 살리면 나머지 하나가 반드시 희생된다는 것을, 렌즈 하나와 포일 한 장으로 직접 재어 보이는 것이 이 탐구의 결론이다.

더 탐구하기

1. 포일에 구멍을 여러 개 뚫은 바늘구멍 안경을 만들어, 시야와 밝기가 얼마나 회복되는지, 구멍 간격이 좁을 때 겹상이 생기는지 확인해 보자.

2. 흰 줄무늬 대신 빨강·파랑 줄무늬 차트를 보아, 작은 구멍이 렌즈의 일부만 쓰게 하는 덕에 단렌즈의 색수차가 얼마나 줄어드는지 조사해 보자.

3. 렌즈를 빼고 구멍만 남긴 핀홀 카메라를 스마트폰에 붙여, 구멍 지름·상 거리·노출 시간의 관계를 정량화해 단렌즈 망원경의 결과와 견주어 보자.

4. 맑은 밤에 달을 겨누어(태양은 절대 금지) 바다 무늬가 구별되는 한계 구멍 지름을 찾아, 회절로 예상한 분해능과 비교해 보자.

연결 주제

2024년 문제 2 ‘물방울 현미경(Droplet Microscope)’ — 렌즈 요소 하나로 배율과 분해능을 함께 다루는 같은 계열이라, 이 원고의 분해능 차트와 배율 측정법을 그대로 옮겨 쓸 수 있다. 이 해(2017년) 문제 8 ‘밀도 시각화(Visualising Density)’도 초점면에 놓은 칼날(조리개)로 상을 제어한다는 점에서 설계 감각을 공유한다.

참고문헌

[학생] 위키백과 ‘핀홀 카메라’·‘굴절 망원경’ / 검색어 “single lens telescope”, “pinhole glasses” / [심화] G. Colicchia, M. Hopf, H. Wiesner, D. Zollman, “Pinhole Glasses,” The Physics Teacher 46(1), 26–28, 2008, DOI 10.1119/1.2823996 (눈앞 약 1 mm 구멍이 초점을 바꾸지 않고 흐림 원만 줄인다는 것, 밝기와 선명도의 맞바꿈, 에어리 원반과 망막 시세포 간격의 계산) · R. Lancor, B. Lancor, “Digital Pinhole Camera,” The Physics Teacher 52(9), 546–547, 2014, DOI 10.1119/1.4902199 (구멍 지름·상 거리가 노출·배율·화질에 주는 영향을 디지털카메라로 측정) · M. Young, “The pinhole camera: Imaging without lenses or mirrors,” The Physics Teacher 27(9), 648–655, 1989, DOI 10.1119/1.2342908 (기하 흐림과 회절 흐림의 맞바꿈에서 최적 구멍 지름 유도) · Lord Rayleigh, “On pin-hole photography,” Philosophical Magazine 31(189), 87–99, 1891, DOI 10.1080/14786449108620080 (핀홀 카메라의 최적 구멍 지름 d ≈ 1.9√(λL) 원전 — 눈앞 조리개에는 그대로 쓰지 않는다) · A. Matsutani, “Observation of libration and change in apparent diameter of the Moon with a pinhole camera,” Physics Education 57(5), 055011, 2022, DOI 10.1088/1361-6552/ac7b03 (0.65 mm 구멍·초점거리 400 mm로 2.5 arcmin 분해능 달 관측) · S. Straulino, L. Bonechi, “A simple ‘tubeless’ telescope,” Physics Education 45(4), 329–330, 2010, DOI 10.1088/0031-9120/45/4/F05 (케플러식 학교 망원경 — 비교용). ※ 핀홀 광학 문헌은 두텁고 이 구성을 다룬 보고도 하나 있으나(심사 수준이 검증되지 않은 저널), 분해능 차트로 최적 구멍 지름을 실측한 자료는 찾기 어렵다 — 그 측정이 개방 지점이다.