비틀어 감은 힘, 어떻게 풀릴까 — 고무줄모터

탐구 주제

IYPT 2014 문제 14 ‘Rubber motor’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2014 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「운동과 에너지」(일과 에너지·탄성 퍼텐셜 에너지)·「힘의 작용」(탄성력) / 고등학교 통합과학1 「시스템과 상호작용」(역학적 시스템) / 물리학·진로선택 「역학과 에너지」(일과 에너지, 돌림힘, 열과 엔트로피) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

탄성 퍼텐셜 에너지, 돌림힘(토크), 비틀림, 감김수–토크 곡선, 엔트로피 탄성, 굿–줄 효과, 이력현상(히스테리시스), 멀린스 효과, 좌굴·매듭, 탄성체(엘라스토머), 출력(일률)

원리 살펴보기

고무줄 하나를 손잡이로 비틀어 감았을 뿐인데 모형 비행기를 수십 초씩 날린다. 이 에너지는 어디에, 어떻게 저장될까? 감김수를 한 바퀴 늘릴 때마다 고무줄은 비틀림에 저항하는 토크를 내고, 그 저항을 이겨 내며 넣어 준 일이 탄성 퍼텐셜 에너지로 차곡차곡 쌓인다. 한 바퀴가 더하는 에너지는 그 순간의 토크에 비례하므로(에너지 증가분 = 2π × 토크), 저장된 총 에너지는 ‘감김수–토크 곡선’ 아래의 넓이에 비례한다(가로축이 감김수면 2π를 곱한다). 그래서 이 문제는 결국 그 곡선의 모양을 알아내는 일로 요약된다.

그 곡선은 곧게 비례하지 않는다. 처음에는 토크가 감김수에 거의 비례해 완만히 오르지만, 한계에 다가가면 고무가 비틀림만으로 버티지 못하고 스스로 겹쳐 매듭(고리)을 이루면서 토크가 급격히 치솟는다. 이는 문제 3 ‘꼬인밧줄’에서 줄이 헬릭스나 고리로 튀어 오르는 좌굴과 뿌리가 같다. 고무가 이토록 큰 에너지를 무게 대비 많이 품는 비결은 금속 용수철과 다르다. 고무의 복원력은 대부분 늘어나 정렬된 사슬 분자가 다시 흐트러진(엔트로피가 큰) 상태로 돌아가려는 엔트로피 탄성에서 나온다 — 그래서 고무를 빠르게 늘이면 따뜻해지고 놓으면 시원해진다(굿–줄 효과).

풀릴 때의 출력(일률)은 시간에 따라 크게 변한다. 막 놓은 순간 토크가 가장 크지만 곧 급히 떨어졌다가 한동안 완만한 고원을 유지한 뒤 0으로 끝난다. 모형기가 이륙 직후 솟구쳤다가 이내 활공하는 이유가 여기 있다. 게다가 같은 감김수라도 감을 때 토크가 풀 때보다 커서, 두 곡선이 벌어진 만큼(이력현상)의 에너지가 열로 사라진다. 이 원리는 모형 항공의 동력원, 태엽 장난감과 시계, 탄성 에너지 저장 장치에 두루 쓰인다.

실험 설계

준비물

고무줄(모형용 고무 밴드 또는 굵기·길이가 다른 넓은 고무줄), 감김수를 세는 손잡이형 와인더(또는 드릴+기어비), 회전을 지지할 고리·스탠드, 간이 토크미터(비틀림 막대 또는 저울 팔+실), 스마트폰(고속 촬영), 회전수 계수기, 자·모눈 배경.

변인

독립변인은 고무줄에 넣은 감김수이다(한 번에 이 값만 바꾼다). 종속변인은 그 감김수에서의 저항 토크와, 풀 때 시간에 따라 변하는 토크·회전수(출력)이다. 통제변인은 고무줄의 종류·굵기·길이(즉 단면적)와 초기 장력, 실온, 윤활 상태, 와인더의 감김 속도, 양 끝을 지지하는 방식이다. 감김 속도나 온도가 토크·이력에 주는 영향을 볼 때는 다른 조건을 고정하고 그 값만 따로 바꿔 별도로 확인한다.

실험 순서

1. 고무줄 양 끝을 고리에 걸어 처음 길이를 정하고, 와인더로 일정 간격(예: 100회)마다 멈춰 그 순간의 저항 토크를 간이 토크미터로 읽어 감김수–토크 곡선을 그린다.

2. 감김수를 더 늘리며 고무가 스스로 겹쳐 매듭이 생기기 시작하는 지점을 관찰·기록하고, 최대 감김수의 90 % 안에서 곡선 개형과 저장 에너지(넓이)를 어림한다.

3. 일정 감김수까지 감은 모터를 회전 원판에 걸어 놓아 주고, 고정단에 간이 토크미터를 단 채 풀리는 동안의 토크 τ(t)를 회전수 ω(t)와 함께 읽어 출력 P = τω의 시간 변화를 얻는다(토크미터를 달기 어려우면 관성 모멘트를 아는 원판을 부하로 써 P = Iω·dω/dt로 구한다).

4. 같은 고무줄을 감았다가 곧바로 되풀며 감을 때와 풀 때의 토크를 같은 감김수에서 비교해, 두 곡선이 이루는 이력 고리(열로 잃은 에너지)를 확인한다.

5. 새 고무줄을 여러 번 반복해 감고 풀며(길들이기), 같은 감김수에서 토크가 점차 낮아지는 연화·피로를 측정한다.

안전 안내

팽팽히 감은 고무줄은 큰 에너지를 품어 끊어지면 세게 튕겨 얼굴·눈을 다칠 수 있다. 실험 내내 보안경을 쓰고, 감는 사람과 주변 모두 회전면·튕김 궤도 밖에 서며, 감긴 모터를 얼굴 가까이 대지 않는다. 끊어질 때 조각이 튀지 않도록 고무줄을 관이나 천으로 느슨히 감싸고, 최대 감김수의 90 % 이내에서만 실험하되, 그 최대값은 끊어질 때까지 감아 찾지 말고 고무줄의 굵기·길이에서 공칭 표(참고 자료의 BMFA 『Rubber Motors』)로 어림한다. 와인더 손잡이·기어에 손가락·머리카락이 끼이지 않도록 주의한다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

감김수를 두 배로 늘리면 저장되는 에너지도 정확히 두 배가 될까? 그리고 풀리는 동안 출력(토크)은 처음부터 끝까지 일정할까, 아니면 크게 달라질까?

자료 정리

감김수를 가로축, 저항 토크를 세로축으로 찍은 곡선의 아래 넓이로 저장 에너지를 어림한다. 감을 때와 풀 때 곡선을 같은 축에 겹치면 이력 고리가 드러나고 그 넓이가 열손실이다. 풀림 실험은 가로축을 시간, 세로축을 회전수나 토크로 하여 출력의 시간 변화를 정리한다. (수치는 실측으로 채우고 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

감김수를 늘릴수록 토크는 처음엔 비례하듯 오르다 매듭이 생기며 급상승하고, 저장 에너지(곡선 아래 넓이)는 감김수보다 훨씬 빠르게 불어날 것으로 예상된다. 이는 고무모터가 ‘선형 용수철’이 아니라, 비틀림·매듭·엔트로피 탄성이 함께 작용하는 비선형 에너지원임을 보여 준다. 풀림 곡선에서 출력이 초반에 몰려 있다는 사실은 왜 모형기가 이륙 직후 급상승하고 이후 완만히 나는지를 설명한다. 감을 때와 풀 때의 토크가 다른 이력현상은 넣은 에너지의 일부가 반드시 열로 사라짐을 뜻한다. 여기에 새 고무줄을 반복해 감으면 같은 감김수의 토크가 점차 낮아지는 연화(멀린스 효과)가 겹쳐, ‘길들이기’가 필요하면서도 지나친 완전 감기가 수명을 갉아먹는다는 실전 지식이 물리로 설명된다.

더 탐구하기

1. 고무줄의 단면적(굵기·가닥 수)을 바꿔, 최대 토크는 대략 단면적의 1.5제곱에 비례하나 최대 감김수가 단면적의 제곱근에 반비례해 저장 에너지는 대략 단면적에 비례(선형)한다는 모형항공계의 보고와 견주어 확인해 보자.

2. 온도를 달리하며 같은 감김수의 토크를 재어, 따뜻할수록 복원력이 커지는 고무의 엔트로피 탄성을 확인해 보자.

3. 윤활(비누·글리세린 등)이 매듭 형성 시점과 최대 감김수·저장 에너지를 얼마나 늘리는지 비교해 보자.

4. 풀림 출력 곡선의 ‘고원’ 구간이 넓어지도록 회전 원판의 부하(질량·지름)를 바꿔, 같은 에너지를 더 고르게 내보내는 조건을 찾아보자.

연결 주제

같은 해 문제 3 ‘꼬인밧줄’은 비틀린 줄이 헬릭스·고리를 만드는 현상으로, 과도하게 감긴 고무모터가 매듭지는 것과 뿌리가 같다. 문제 12 ‘차가운풍선’과는 고무의 엔트로피 탄성을 공유한다.

참고문헌

[학생] 자유비행 기술위원회(BMFA) 『Rubber Motors』 모노그래프(freeflight.bmfa.uk) — 에어로모델러 고전 기사 모음으로, 감김수–토크 곡선과 ‘급강하 뒤 고원, 다시 감소해 0’으로 끝나는 특유의 출력 곡선, 그리고 저장 에너지 = 토크 곡선 아래 넓이를 실측으로 다룬다 / 위키백과 ‘Rubber band motor’와 모형항공 토크미터 자료(감긴 토크로 저장 에너지를 가늠) / [심화] G. Savarino, M. R. Fisch, “A general physics laboratory investigation of the thermodynamics of a rubber band,” Am. J. Phys. 59(2), 141–145 (1991) (고무 밴드의 엔트로피 탄성을 학부 실험으로 측정) · J. Pellicer, J. A. Manzanares, J. Zúñiga, P. Utrillas, J. Fernández, “Thermodynamics of rubber elasticity,” J. Chem. Educ. 78(2), 263 (2001), DOI 10.1021/ed078p263 · J. Diani, B. Fayolle, P. Gilormini, “A review on the Mullins effect,” Eur. Polym. J. 45(3), 601–612 (2009), DOI 10.1016/j.eurpolymj.2008.11.017 (반복 변형에 따른 연화 — 길들이기·피로의 정체) · L. R. G. Treloar, The Physics of Rubber Elasticity (Oxford Univ. Press, 3판, 1975) (엔트로피 탄성의 고전). ※ 모형항공 문헌은 풀림 토크 곡선과 ‘에너지 = 곡선 아래 넓이’를 풍부히 남겼으나, 단일 고무줄에서 매듭이 시작되는 감김수와 이력 고리의 넓이(열손실)가 고무줄의 치수·감김 속도·온도에 따라 어떻게 변하는지는 학교 탐구의 개방 지점이다.