거품이 공을 붙잡는다 — 폼 속의 공

탐구 주제

IYPT 2012 문제 17 ‘Ball in foam’에 관한 원리 해설과 탐구 설계입니다.

IYPT 2012 공식 문제 보기

교육과정 연결

중학교 과학 「여러 가지 힘」(부력·마찰) · 「물질의 특성」(밀도) / 고등학교 통합과학1(밀도와 부력) · 과학탐구실험1(측정과 오차) / 진로선택 「역학과 에너지」(유체·항력·점성) (2022 개정 교육과정, 단원 코드는 NCIC에서 최종 확인).

핵심 개념

액체 폼(거품), 항복응력, 빙엄 유체, 헤르셸-불클리 모형, 점탄성, 부력, 항력, 점성력, 거품 크기, 액체분율, 플라토 경계, 배수, 거칠어짐(코어스닝), T1 재배열, 유동화 영역, 임계 문턱

원리 살펴보기

가벼운 공을 비누 거품 속에 파묻으면, 왜 곧장 위로 떠오르지 않고 그 자리에 가만히 붙잡혀 있을까? 거품(액체 폼)은 대부분이 공기이고 얇은 비누막이 그 사이를 나눈 물질이라, 물처럼 흐르지도 고체처럼 딱딱하지도 않다. 힘을 조금만 주면 젤리처럼 살짝 찌그러졌다가 되돌아오는 ‘무른 고체’로 버티다가, 어떤 문턱 세기를 넘는 순간에야 비로소 물처럼 흐르기 시작한다. 이 문턱을 항복응력이라 한다. 그래서 공에 작용하는 부력이 이 항복 문턱을 넘지 못하면, 거품은 공을 놓아주지 않고 제자리에 붙잡아 둔다. 공이 뜨느냐 마느냐를 가르는 것은 밀도 하나가 아니라, 부력과 항복응력의 힘겨루기다.

부력이 문턱을 넘어 공이 움직이기 시작해도, 거품은 계속 저항한다. 실제 측정을 보면 이 저항력은 두 몫으로 나뉜다 — 속도를 0까지 줄여도 남는 문턱 몫(폼의 항복응력이 만들어 내는 항복 항력)과, 빠를수록 커지는 점성 몫이다(힘–속도 관계가 헤르셸-불클리 곡선을 그린다). 게다가 공의 크기가 거품 방울과 ‘비슷할’ 때는, 공이 매끄럽게 미끄러지지 않고 거품 벽(플라토 경계)이 하나씩 이웃을 바꿀 때마다 툭툭 끊기며 나아간다. 여기에 시간이 더해진다. 거품은 만들자마자 물이 빠지고(배수) 방울들이 합쳐져 커지므로(거칠어짐), 같은 공이라도 갓 만든 거품과 묵힌 거품에서 다르게 움직인다 — 한 연구는 거품이 나이 들수록 항력이 평균 거품 크기 R에 대해 대략 1/R로 줄어듦을 보였다.

폼이 알갱이를 붙잡거나 흘려보내는 이 성질은 여러 산업의 심장부에 있다. 발포 소재·기포 콘크리트(굳기 전 골재나 첨가물이 가라앉지 않도록 항복응력을 설계한다), 거품 부유선별(광석 알갱이를 거품에 매달아 값진 광물만 골라내는 자원 공정), 식품·화장품 폼(휘핑크림·무스에서 과일 조각이 뜬 채로 유지되는 것도 같은 원리), 소화용 폼(불 위에 퍼져 눌어붙는 방재용 거품의 흐름)에 두루 닿아 있다.

실험 설계

준비물

주방세제와 물로 만든 비누액, 거품을 낼 거품기(또는 빨대·공기 펌프), 거품 방울과 크기가 비슷한 작고 가벼운 공 여러 개(발포 스티로폼 구슬 등), 공의 밀도를 미세하게 바꿀 소량의 점토나 테이프, 0.001 g까지 읽는 전자저울, 투명한 세로형 용기, 자와 모눈 배경지, 스마트폰(고속 촬영), 초시계, (선택) 뒤에서 비출 손전등.

변인

독립변인은 공에 작용하는 알짜 부력이다 — 공에 점토·테이프를 조금씩 붙여 공의 평균 밀도를 바꿔 조절한다. 종속변인은 공이 갇혀 멈추는지 아니면 떠오르는지의 여부와, 떠오를 때의 상승 속도이다. 통제변인은 거품 방울의 크기, 거품의 액체분율(젖은 정도), 용기의 크기, 온도, 공의 지름, 거품을 만든 뒤 경과 시간이다(이 시간을 별도 독립변인으로 삼아 배수·거칠어짐의 효과를 따로 조사한다).

실험 순서

1. 투명한 세로형 용기에 비누액을 거품기로 저어 거품을 채우고, 모눈 배경에 대어 방울의 대표 지름을 잰다 — 공의 크기가 이 방울과 비슷하도록 공을 고른다.

2. 공 하나를 골라 점토·테이프로 무게를 조금씩 더하며 평균 밀도를 몇 단계로 맞춘다. 단계마다 공의 질량을 0.001 g까지 재고 지름으로 부피를 구해 알짜 부력을 계산해 둔다.

3. 공을 거품 속 일정 깊이에 살며시 파묻고 놓은 뒤 고속 촬영한다. 공이 갇혀 있는지, 떠오른다면 얼마나 빠른지 읽는다. 가벼운 공부터 무거운 공까지 반복해, 공이 움직이기 시작하는 경계 밀도(항복 조건)를 찾는다(조건마다 3회).

4. 공 하나를 정해 두고, 거품을 만든 직후부터 몇 분 간격으로 같은 실험을 되풀이한다. 시간이 지나며 방울이 커지고 물이 빠질 때 상승 여부와 속도가 어떻게 달라지는지 기록한다.

5. 거품기 세기나 액체 양을 바꿔 방울 크기·액체분율이 다른 거품을 만들고 앞 단계를 반복해, 경계 밀도와 상승 속도가 거품의 성질에 따라 어떻게 옮겨 가는지 비교한다.

안전 안내

비누액이 눈에 들어가면 따갑고 자극이 되니 눈을 비비지 말고 흐르는 물로 씻는다. 바닥에 흘린 거품·비눗물은 매우 미끄러우니 즉시 닦아 넘어짐을 막는다. 만든 비누액은 마시거나 입에 대지 않는다. 유리 용기는 깨지기 쉬우니 받침 위에서 다루고, 공기 펌프를 쓸 경우 물이 펌프로 역류하지 않게 수면보다 높은 곳에 둔다.

예상과 해석

먼저 예상해 보기

공을 점점 가볍게(밀도를 낮춰) 만들어 가면, 어느 순간 갑자기 떠오르기 시작할까 — 아니면 처음부터 아주 천천히 계속 기어오를까? 또, 갓 만든 거품과 한참 묵힌 거품 중 어디에서 공이 더 잘 움직일까?

자료 정리

공의 알짜 부력(또는 밀도)을 가로축, 상승 속도를 세로축으로 그린다. 항복응력이 있다면 어떤 문턱 아래에서는 속도가 0이다가 문턱을 넘어서야 속도가 커지는, 절편이 있는 곡선(헤르셸-불클리 개형)이 나올 것이다. 여기에 ‘거품 나이(경과 시간)–상승 속도’ 그래프와 방울 크기의 변화를 함께 겹쳐, 거품이 늙을수록 저항과 부력이 각각 어떻게 달라지는지 본다. 고운 거품과 굵은 거품의 결과도 같은 축에 나란히 둔다. 공이 매끄럽게 오르는지, 툭툭 끊기며 오르는지도 함께 적는다. (수치는 실제 측정으로 채운다 — 여기서는 축과 개형만 제시한다.)

결과의 의미

어떤 문턱 밀도보다 무거운 공은 아무리 기다려도 꼼짝 않다가, 그보다 가벼워지는 순간 비로소 떠오르기 시작할 것으로 예상된다. 바로 이 ‘떠오르지 않는 구간’의 존재가 폼이 항복응력을 가졌다는 직접 증거이며, 힘–속도 그래프에서 속도를 0으로 외삽한 절편이 거품이 공을 붙잡는 힘, 곧 항복 항력(단위 N)이다. 이를 응력(Pa)으로 바꾸려면 공 크기에 맞는 기하 계수가 더 필요하니 여기서는 항복 항력까지만 보고하는 편이 정직하다. 그러므로 공은 단순한 장난감이 아니라 폼의 성질을 재는 탐침이 된다. 또 거품의 나이에 따라 같은 공이 갇히기도 하고 떠오르기도 한다면, 그것은 오차가 아니라 배수·거칠어짐으로 폼이 살아 있는 것처럼 변한다는 뜻이다 — 물이 빠지면 항력만 줄어드는 것이 아니라 폼 자체가 가벼워져 부력도 함께 줄어든다. 무엇보다 공의 크기가 낱개 방울과 비슷해지면 운동이 매끄럽지 않고 툭툭 끊기는데, 이 불연속이야말로 ‘비슷한 크기’라는 조건이 만들어 내는 이 문제의 핵심이다 — 하나의 매끈한 항력 공식으로는 덮이지 않는, 거품 하나하나가 주인공이 되는 영역이다.

더 탐구하기

1. 공 두 개를 잇달아 지나가게 해, 앞선 공이 물러 놓은 자리를 뒤 공이 더 쉽게 통과하는지(폼의 ‘기억’ 효과) 살펴보자.

2. 비누액에 글리세린을 섞거나 세제 농도를 바꿔 비누막을 더 질기게 만든 뒤, 항복 문턱과 상승 속도가 어떻게 달라지는지 비교해 보자.

3. 공을 거품보다 무겁게 만들어 가라앉히면서, 떠오를 때와 가라앉을 때의 저항이 대칭인지 살펴보자.

4. 거품이 불투명해 공이 안 보일 때, 뒤에서 빛을 비추거나 벽에 붙은 공의 그림자를 추적하는 방법을 고안해 보자.

연결 주제

물리 2012 문제 8 ‘거품(Bubbles)’ · 문제 16 ‘떠오르는 기포(Rising bubble)’ — 투명 용기 속 기포·거품과 물체의 상호작용을 촬영해 관찰하는 얼개를 공유하고, 문제 16의 ‘복잡한 유체 속 물체의 운동’을 폼으로 확장하는 셈이다. 다만 문제 8이 ‘유체가 밀어 올리는 부력’을 본다면, 이 문제는 ‘폼이 붙잡는 항복응력’을 본다는 점이 갈린다.

참고문헌

[학생] D. Weaire·S. Hutzler, 『The Physics of Foams』(Oxford Univ. Press, 1999) — 폼의 구조·배수·레올로지를 한 권에 정리한 표준 입문서 / 위키백과 ‘빙엄 유체(Bingham plastic)’·‘거품(Foam)’·‘플라토 법칙’ — 항복응력·폼 구조 개념 / 영상 검색어 “yield stress fluid”, “shaving foam solid or liquid” / [심화] J. R. de Bruyn, “Transient and steady-state drag in foam,” Rheologica Acta 44, 150–159 (2004), doi:10.1007/s00397-004-0391-6 — 폼 속을 일정 속도로 지나는 구의 항력 측정: 속도를 0으로 외삽한 절편(힘)이 폼의 항복응력을 재는 척도이고, 힘–속도 곡선이 헤르셸-불클리 관계를 따르며, 움직이는 구 둘레에 반지름 정도의 유동화 영역이 생김 · J. R. de Bruyn, “Age dependence of the drag force in an aqueous foam,” Rheologica Acta 45, 803–811 (2006), doi:10.1007/s00397-005-0073-z — 거품이 나이 들며(배수·거칠어짐) 항력이 줄고 평균 거품 크기 R에 대해 대략 1/R로 감소 · R. Höhler·S. Cohen-Addad, “Rheology of liquid foam,” J. Phys.: Condens. Matter 17, R1041–R1069 (2005), doi:10.1088/0953-8984/17/41/R01 — 액체 폼의 탄성·항복·점성 흐름 리뷰 · C. Raufaste 외, “Yield drag in a two-dimensional foam flow around a circular obstacle: Effect of liquid fraction,” Eur. Phys. J. E 23, 217–228 (2007), doi:10.1140/epje/i2006-10178-9 — 2차원 폼에서 장애물에 걸리는 항복 항력이 액체분율에 의존함을 측정. ※ 위 문헌은 거품보다 훨씬 큰 구(연속체 극한)나 고정된 2차원 장애물을 다룬다. 공 크기가 낱개 거품과 ‘비슷한’ 3차원에서 개별 거품 벽과의 상호작용이 지배하는 영역은 이 탐구의 개방 지점이다.